u8910520的部落格

在Metric space下...
當時常常考慮的兩個case
1.Sequence converges ==> Sequence cauchy
2.X is compact ==> X is closed and bounded
在大部分課本都會有定理保障在R^k空間下，上面兩個結果是若且唯若
不過除了R^k之外，對於C也是可行的..
因此..好奇的是，在什麼前提下就可以得到1.2是都是可互推的..
Complete的定義下，直接保障了1是可互推的..
因此想說在2的情況下可行嗎？
考慮個特例：discrete metric X=arbitrary space
d(a,b)=1 when a不等於b
0 when a等於b
任意在X的infinite Set P，很明顯的P is closed、bounded.
因為距離的定義..因此P中任兩點距離不是0就是1
P中任意的Cauchy sequence 當eplison取小於1時，
則保證某項以後每兩項距離 < eplison < 1
所以從某一項以後，每項都是相同的數..因此導出收斂
所以X is complete metric space.
但是P不是compact
因為每個點都找一個半徑1/2的open ball包住自己，
但是不能縮到finite subcover.
所以這想法還不夠完備....